En Terminale, méthodes d’étude de la convergence d’une suite. Mise en oeuvre en classe
Objectifs
L'activité vise à ce que les élèves de Terminale réflechissent à des méthodes expérimentales d'étude d'une suite et qu'ils s'approprient les outils adéquats: calculatrice, logiciel formel, graphisme. Ils doivent aussi apprendre à coordonner cette étude expérimentale avec des démarches de preuve.
Organisation
La séance s'adresse à une classe de Terminale S de 32 élèves. Elle a lieu en salle ordinaire. Les élèves ont à leur disposition des ordinateurs portables avec Casyopée et leur calculatrice.
La séance se déroule en deux phases de travail de groupe respectivement de 45 et 30 min, suivies d'une synthèse collective en 10 min, selon le dispositif "collaboration en puzzle" (jigsaw) présenté ici.
Phase 1
Dans la première phase, les élèves sont répartis en huit groupes. Deux groupes font la tâche A ci-dessous. Deux groupes font la tâche B ci-dessous. Deux groupes font la tâche C ci-dessous. Deux groupes font la tâche D ci-dessous. Il s’agit, dans cette phase, d’introduire les élèves à plusieurs méthodes d’étude expérimentale pouvant conduire à des conjectures contradictoires, tout en posant la question d’une preuve mathématique.
Tâche A
Ce groupe est placé dans la situation courante avec une calculatrice "boîte noire" disposant d'une entrée "intégrale" (quatrième méthode expérimentale du document de référence
On s'intéresse à la suite définie par et pour par .
3. Prouver vos conjectures. 4. La suite est-elle convergente ? |
Tâche B
Ils doivent dans les deux questions mettre en relation l'intégrale et l'aire sous la courbe et réaliser une observation graphique (Première
La preuve de convergente demandée dans la première question leur est accessible, à partir du calcul par primitive du terme général.
On s'attend à ce que dans la seconde question, ils aient une idée de de la majoration, mais sans doute pas le temps de rédiger une preuve.
1. Pour tout entier , on pose et . a) A l'aide de ces graphiques, conjecturer la limite de la suite . b) Prouver vos conjectures. 2. On s'intéresse à la suite définie par et pour par . a) Calculer . b) On a ajouté aux graphiques précédents les courbes représentatives des fonctions définies sur ℝ par . 3. La suite est-elle convergente ? |
Tâche C
On s'intéresse à la suite définie par et pour par . 1. Calculer . 3. En déduire, en utilisant la commande « Créer Suite » du logiciel Casyopée, les premiers termes de la suite . |
Tâche D
Comme dans la seconde méthode expérimentale du document de référence
On s'intéresse à la suite définie par et pour par . 1. Calculer . 2. Soit définie sur IR par . 3. Avec le logiciel Casyopée et ses outils de calcul formel, obtenir les valeurs exactes de ,,,. 4. La suite semble-t-elle convergente ? |
Phase 2
Dans cette phase, les élèves confrontent les méthodes et les résultats. On s'attend tout d'abord à un débat entre les élèves ayant conjecturé une suite divergente (Tâches A et C) et ceux qui ont conjecturé une suite décroissante tendant vers 0 (Tâches B et D). Il est possible que les élèves poursuivent la Tâche D pour de plus grande valeurs de l'indice, et fassent ainsi les mêmes observations que dans la tâche C. Dans les deux cas, ils devront mettre en évidence que le logiciel utilise une approximation de e dans les calculs approchés, ce qui conduit à des valeurs aberrantes pour n>18. Parallélement, ils devront reprendre la tâche B vers une preuve.
On s'intéresse à la suite définie par et pour par . On sait de plus que pour tout entier , . La suite est-elle convergente ? Justifier la réponse du groupe en exploitant les résultats que vous avez obtenus dans la première phase. |
Synthèse
Elle vise d'abord à faire le bilan des méthodes possibles d'exploration des propriétés d'une suite et à établir la preuve demandée. Il s'agit aussi de mettre en évidence la possibilité d'aberrations dues aux approximations réalisées dans ces méthodes d'exploration.
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