La modélisation du pont du Golden Gate 

Les ponts suspendus

Un pont suspendu est un type de pont où le tablier (en général une chaussée) est suspendu à des câbles principaux par des suspentes verticales également espacées.
Il n'y a aucune compression dans le tablier, ce qui permet une construction légère et une grande longueur. Le poids du tablier applique une tension dans les câbles principaux par l'intermédiaire des suspentes. Les câbles principaux sont ancrés au sommet des piliers et les piliers supportent la compression résultant de la tension. La question centrale est de trouver des modèles d'un câble principal, ce qui permet de résoudre les questions techniques comme la valeur de la tension maximale et donc le choix d'un câble d'une résistance suffisante, ou la longueur à prévoir pour ce câble.

La photo ci-dessus est celle du pont Lorois dans le Morbihan (France), au dessus de la rivière d'Etel. On remarque la courbe  décrite par le câble principal entre les piliers, et les câbles rectilignes qui équilibrent la tension à l'extérieur des piliers.

Après avoir précisé le vocabulaire, ce document présente quatre modèles successifs d'un câble principal, valables pour tous les ponts suspendus comme référence pour un travail par des élèves de Terminale. Pour les deux derniers modèles, les données numériques sont celles du pont du Golden Gate en Californie (USA).

• Vocabulaire
• Un modèle statique discret
• Un modèle géométrique discret
• Un modèle algorithmique discret
• Un modèle continu

Vocabulaire

Un modèle statique discret

Il dérive du nombre fini de suspentes : un câble principal est représenté comme un ensemble de n segments, en commençant et en terminant au niveau des points d'ancrage, et séparés par n-1 points de suspension reliant le câble principal et les suspentes. Dans la maquette ci-dessus, le tablier est modélisé par un ensemble de masses raccordées aux suspentes. Les dynamomètres permettent de visualiser la tension dans chaque segment.

La modélisation de la tension dans l'un des câble principaux peut être effectuée en considérant la suite des tensions sur chaque segment, et pour chacune, les valeurs de la composante horizontale et de la composante verticale . La loi d'équilibre statique, appliquée à chaque point de suspension, implique que la composante horizontale est la même dans tous les segments. Cela implique aussi que la suite des valeurs de la composante verticale est en progression arithmétique.

La raison est la valeur DP du poids d'une partie de la plate-forme supportée par une suspente. On considère que chacune des (n-1) suspentes supporte une portion de longueur L/n, deux portions de longueur L/(2n) étant supportées par chacun des piliers. Comme chacun des deux câbles principaux supporte la moitié du tablier, on a DP= P/(2n). V_n=V₀+(n-1)P/(2n). Par symétrie V_n=-V₀ d'où la relation de récurrence:

Un modèle géométrique discret

Connaissant la position d'un point d'ancrage (partie supérieure d'un pilier), il est possible de calculer la suite des coordonnées des points de l'ensemble des segments modélisant le câble principal.

L la longueur du pont, M0 et Mn les points d'ancrage sur les piliers, et M1, M2,…, Mn-1, les points où les suspenseurs sont fixés au câble, xi, yi les coordonnées de Mi.

(xi) est en progression arithmétique de raison L/ n.

La pente d'un segment [Mi, Mi+1] est le rapport entre les composantes verticale et  horizontale de la tension dans ce segment, d'où la formule de récurrence . Avec la formule de récurrence donnée par le modèle statique pour Vi, il est possible de calculer  les yi.

Un modèle algorithmique discret

Un programme informatique permet de dessiner une représentation du modèle géométrique ci-dessus. Dans le programme ci-dessous, les données proviennent du Pont du Golden Gate et l'origine du système de coordonnées est au milieu du pont.

Poids du pont: 20 méga newtons

Distance entre deux piliers: 1 280m

Élévation des piliers au-dessus du pont: 163m

A ce stade, H est inconnu et donc paramétrique, et nous choisissons également un paramètre n pour le nombre de suspentes afin de dessiner des représentations pour plusieurs valeurs de n.
En utilisant Casyopée (fonctions définies par un algorithme), nous obtenons des représentations pour des valeurs variées de H et n.

Pour les petites valeurs de n, la représentation est un ensemble de segments. Pour des valeurs plus grandes, elle paraît une courbe. On peut ajuster H afin que le câble atteigne une hauteur donnée au-dessus du pont. Plus cette composante horizontale est grande, plus le cable s'élève au dessus du tablier.

Un modèle continu

Étant donné le grand nombre de suspentes, on peut chercher une courbe, limite de l'ensemble des segments modélisant le câble lorsque ce nombre tend vers l'infini, et que donc la distance entre suspentes tend vers zéro. Avec un choix de l'origine du repère au milieu du tablier, on considère alors le câble principal comme modélisé par la courbe d'une fonction f définie sur [-L/2 ; L/2] . La tension en un point du câble d'abscisse x est la limite de la tension sur une suite de segments d'amplitude tendant vers zéro et encadrant x dans le modèle discret. Comme la composante horizontale de la tension dans le modèle discret est une constante que nous avons notée H, la composante horizontale de la tension dans le modèle continu est cette même constante.

Calculons V(x), la composante verticale de la tension en un point du câble d'abscisse x dans le modèle continu.

Les suites arithmétiques (xi) et (Vi) ont les définitions non récurrentes suivantes:

et et donc

Considérons une suite de limite infinie telle que pour tout n encadre x. Il suffit de prendre pour i_n la partie entière de n(x+L/2)/L.

V(x) est la limite de  quand n tend vers l'infini :  .

Dans le modèle continu, la tension en un point est dirigée selon la tangente en ce point. Nous en déduisons que f est dérivable et sa dérivée en un point x est .

Avec les données du pont du Golden Gate, nous avons puis par intégration

Avec Casyopée, on peut tracer la courbe de la fonction, insérer une image du pont dans le volet de géométrie, et piloter H et C de façon que la courbe s'adapte au câble.