Modélisation du pont du Golden Gate

Potentialités, contraintes et conception générale

La présentation dans le document de référence montre que l'étude d'un pont suspendu implique de considérer les données dans le monde réel, ainsi qu'un certain nombre de concepts liés à la physique et à l'analyse : la tension, l'équilibre statique des forces, la projection de vecteurs, la pente de segments et le gradient des courbes, une progression arithmétique et une fonction linéaire, les modèles discrets et continus, les limites et l'intégration ... Tous ces contenus sont enseignés dans les programmes du secondaire, ainsi l'objectif pour les élèves n'est pas de «réinventer» chacun d'eux isolément, mais plutôt de reconnaître comment une question dans une situation du monde réel implique la compréhension de ces concepts de façon opératoire et en interaction.

Dans le programme français, l'étude d'un pont suspendu peut être réalisée dans la dernière année du cycle scientifique secondaire (12ème année, Terminale). L'année précédente, les élèves ont étudié les progressions arithmétiques et la dérivation des fonctions (en relation avec la pente des tangentes), et ont appris à programmer les valeurs de suites, ainsi que des approximations de courbes  de fonctions dont la dérivée est connue (méthode d'Euler ). Dans cette dernière année, les élèves ont travaillé sur les tensions en physique et sur l'intégration en mathématiques. Il existe une contrainte dans ces classes : les élèves passent un examen important à la fin de l'année pour lequel les compétences standards comptent plus que la compréhension en profondeur. Ainsi, il y a peu de temps pour des situations qui vont au-delà de compétences isolées dans des tâches standard, et un enseignant doit insister sur la contribution de tâches moins standard comme dans la situation proposée ici.

Le groupe Casyopée a utilisé le cadre des espaces de travail connectés (Minh & Lagrange 2016) pour concevoir une situation de classe exploitant le potentiel de l'étude d'un pont suspendu. Nous considérons quatre espaces de travail.

• Dans le premier, l'objet en jeu est la suite des tensions au niveau des points de connexion des suspente, et les règles sont la loi d'équilibre statique et les propriétés des progressions arithmétiques. Les artefacts sont des dispositifs concrets de mesure utilisés en physique et en mathématiques, dynamomètres, rapporteurs, ainsi que d'autres outils «abstraits» comme la décomposition des tensions dans les composants verticaux et horizontaux. Nous appelons cet espace de travail, l'espace des systèmes statiques, ou en raccoursi, l'espace de la statique.
• Le deuxième espace de travail porte sur un modèle discret d'un câble principal,et donc sur des objets géométriques. La règle principale est la définition analytique d'un segment : les élèves doivent calculer les coordonnées du point, connaissant les coordonnées de l'autre point, la pente et la différence entre les abscisses. Nous appelons cet espace de travail, l'espace géométrique.
• Dans le troisième espace de travail, un artefact important est l'environnement de programmation de Casyopée, qui permet de calculer une série de points au moyen d'un traitement itératif simple ; ces points permettent de définir une fonction par morceaux continue, dont le graphique, dans le cas du pont, représente le modèle discret du câble principal. Nous appelons cet espace de travail, l'espace algorithmique.
• Enfin, les objets dans le quatrième espace sont des fonctions régies par les règles classiques de l'analyse. C'est l'espace de travail des fonctions mathématiques. Trouver une primitive d'une fonction linéaire ne devrait pas être difficile pour les élèves. Toutefois, la formule de la fonction linéaire implique un paramètre (la composante horizontale H de la tension), et donc les élèves mal à l'aise peuvent mettre à profit les capacités symboliques de Casyopée. Ils peuvent également utiliser Casyopée pour obtenir une courbe de ce modèle continu, comparer à une image du pont et au modèle discret, et ajuster la composante horizontale H afin que les trois représentations coincident. Ainsi Casyopée apporte des objets, utiles dans l'espace algorithmique et dans l'espace des fonctions mathématiques, en aidant à relier ces espaces.

Mise en œuvre

Comme dit précédemment, il existe des contraintes dans cette classe d'examen et la mise en œuvre est limitée à trois heures et demie et organisée en quatre phases.

•  La première phase dure une heure et a été préparée avec le professeur de physique. Elle vise d'abord à initier les élèves aux questions liées aux ponts, en particulier les ponts suspendus. Ils sont invités à consulter un site web dédié, pour sélectionner et esquisser quatre ponts de différents types, à regarder une vidéo illustrant l'idée de tension le long d'une corde horizontale et le fait que, quelle que soit la tension, la corde n'est plus rectiligne dès qu'une force est appliquée verticalement sur un point.
  Ils doivent répondre à trois questions: (1) pourquoi dans un pont suspendu les câbles principaux ne sont-ils pas rectilignes? (2) quel type de fonction proposez-vous pour modéliser le câble principal ? (3) la forme d'un câble principal est-il déterminé par la longueur des suspentes? Toujours dans cette première phase, les élèves doivent construire deux appareils comme dans la figure 1, lire les tensions dans les dynamomètres et mesurer les angles, calculer les composantes horizontale et verticale des tensions et vérifier l'équilibre statique des forces.

Figure 1

Figure 2   

• La deuxième phase dure 50 mn. Au début, les données relatives au pont du Golden Gate Bsont présentées à toute la classe. Les élèves regardent aussi une maquette (figure 2), et un élève lit les tensions dans les dynamomètres à toute la classe. Ensuite, les élèves sont divisés en groupes de quatre. Chaque groupe a une tâche, A, B, C ou D.

Figure 3

La tâche D est liée à l'espace de travail des fonctions mathématiques. Les élèves doivent rechercher une fonction f dont la courbe soit un modèle d'un câble principal (modèle continu)  Ils sont informés du fait que la composante horizontale de la tension dans le câble est une constante H et que, dans le repère choisi, la formule pour la composante verticale de la tension à un point d'abscisse x est donnée par la formule suivante: où P est le poids du tablier et L sa longueur. Ils doivent trouver une formule pour la

dérivée de f, en tenant compte du fait que la tension est dans la direction de la tangente à la courbe. Puis, en utilisant Casyopée, ils doivent trouver une formule pour f et régler le paramètre H afin que la courbe de la fonction f soit conforme à la forme du câble (figure 4).

Figure 4

• La troisième phase dure aussi 50mn. Les élèves forment de nouveaux groupes. Chacun de ces nouveaux groupes est construit de façon à rassembler un ou deux élèves de chacun des gtoupes de la seconde phase, ayant fait respectivement les tâches A, B, C ou D. Il est demandé, à l'intérieur de ces nouveaux  groupes, de partager les résultats obtenus à la seconde phase, et de rédiger un rapport mettant en évidence les points important points. Dans  ce travail, un élève venant par exemple d'un groupe ayant fait la tâche A, est un expert de l'espace de travail "statique" et informe les élèves venant d'autres groupes des méthodes et dans cet espace de travail . Cette organisation en deux séries de groupes est inspirée de la « Jigsaw Classroom », qui est conçue comme

une technique d'apprentissage coopératif qui réduit les conflits chez les élèves, favorise un meilleur apprentissage, améliore la motivation et favorise le plaisir d'apprendre ... Tout comme dans un puzzle, chaque pièce - la contribution de chaque élève  - est essentielle pour la réussite et l'assimilation du produit final.

L'avantage de cette organisation est que les élèves, en un temps compatible avec les contraintes à ce niveau, obtiennent une compréhension globale du problème, réalisant par eux-mêmes certaines des tâches clé, même s'ils ne résolvent pas le problème dans tous ses aspects. Comme nous l'avons montré plus haut, l'idée de plusieurs espaces de travail pour l'étude d'un problème est un guide pour l'organisation des tâches.

• La quatrième phase (30 mn ) est  une synthèse collective dirigée par le professeur.