<!DOCTYPE html> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"><head> <!--[ GuppY v5.0.9 CeCILL Copyright (C) 2004-2014 by Laurent Duveau - http://www.freeguppy.org/ ]--> <meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8"> <meta name="application-name" content="Casyopée - Modélisation à partir d un paramètre "><title>Casyopée - Modélisation à partir d un paramètre</title> <meta name="description" content="Casyopée: a learning environment dedicated to functions"> <meta name="generator" content="GuppY CMS"> <meta name="author" content="lagrange"> <meta name="keywords" content="casyopée, functions, mathematics, geodynamic geometry, cas, symbolic computation,"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1, maximum-scale=1"> <meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes"> <meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black"> <link rel="shortcut icon" href="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/guppy.ico"> <link rel="alternate" type="application/rss+xml" title="Casyopée : Actualité" hreflang="fr" href="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/data/fr-news.xml"> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="skins/casyop/style.css"> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="skins/casyop/jqstyle.css"> <style type="text/css" media="screen"> @import url(inc/auto.css); </style> <style type="text/css" media="print"> @import url(inc/print.css); </style> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="inc/csshead/fotorama.css"> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="inc/csshead/menubox.css"> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="inc/csshead/slidesjs.css"> <script type="text/javascript"> //<![CDATA[ <!-- var charset = "UTF-8"; var site0 = "Casyopée"; var site3 = "https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/"; var sValue = screen.width + "||" + screen.height + "||" + screen.availWidth + "||" + screen.availHeight; var today = new Date(), expires = new Date(); expires.setTime(today.getTime() + (365*24*60*60*1000)); document.cookie = "GuppYScreen" + "=" + encodeURIComponent(sValue) + ";expires=" + expires.toGMTString(); //--> //]]> </script> <script type="text/javascript" src="inc/hpage.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jquery-min.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jquery-migrate-min.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jqscript.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/boxmenu_toggle.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/fotorama.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/jquery.imagecube.min.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/sidephoto.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/slides.min.jquery.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/slidesjs.js"></script></head><body> <div id="page"> <div id="header"> <div id="screen_choice" style="margin: auto; display: block; cursor: pointer; text-align: center;"> <form name="ustyle" method="post" action="/articles.php?lng=fr&amp;pg=143">&nbsp; </form> </div> </div> <div id="TopBoxes"> <table class="row T0row0"> <tbody><tr><td class="col col0" style="width: 50%;"> <div class="logo LOT0"> <a href="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/index.php?lng=fr" title="Casyopée"> </a> </div> <br> </td><td class="col col1" style="width: 25%;">&nbsp;</td><td class="col col2" style="width: 25%;">&nbsp;</td> </tr> </tbody></table> </div> <div id="MainContent"> <table style="margin: auto; width: 100%; text-align: center;"> <tbody><tr> <!-- begin left column --> <td style="vertical-align: top;"><br> </td> <!-- end left column --> <!-- begin center area --> <td style="width: 100%; vertical-align: top;"> <br> <div id="AboveBoxes"> </div> <br> <br> <div class="titre"> <h1>Modélisation à partir d un paramètre<a href="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/articles.php?lng=fr&amp;pg=143&amp;tconfig=0" title="Lien permanent"> </a></h1> </div> <div class="tbl tblout" onmouseover="this.className = 'tbl tblover'" onmouseout="this.className = 'tbl tblout'"> <div style="text-align: left;"> </div> <div style="padding: 6px;"><table id="panneau-7" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody> <tr> <td style="width: 257px;"> <div> </div> <p style="text-align: left;">Supposons que des points&nbsp; dépendent d un paramètre. Il est intéressant d obtenir le lieu d un tel point et de modéliser des dépendances entre grandeurs mettant en jeu ce paramètre.</p> <p></p> <p style="text-align: left;">Voici un exemple.</p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">On considère un mobile «&nbsp;Cible&nbsp;» animé d un mouvement uniforme de vitesse 2 sur une trajectoire rectiligne, et un mobile «&nbsp;Poursuivant&nbsp;» animé d un mouvement uniforme de vitesse 3, faisant un angle a en degrés avec la trajectoire de la &nbsp;«&nbsp;Cible&nbsp;».</p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">Les deux mobiles ont une distance initiale de 2, et le segment qui les joint est perpendiculaire à la trajectoire de la «&nbsp;Cible&nbsp;».</p> <div style="text-align: left;"> </div> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">Comment modéliser ces mobiles&nbsp;? Pour quelles valeurs de a, le «&nbsp;Poursuivant&nbsp;» peut-il atteindre la «&nbsp;Cible&nbsp;»&nbsp;?</p> <div style="text-align: left;"> </div> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">On crée tout d abord deux paramètres, t pour le temps, et a pour l angle en degrés, comme ci-contre. On crée un point C repéré de coordonnées (2t&nbsp;;0) pour la «&nbsp;Cible&nbsp;») et un point P &nbsp;repéré pour le</p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">«&nbsp;Poursuivant&nbsp;» de coordonnées&nbsp;: (3cos(ap/180)&nbsp;t&nbsp;;&nbsp;2-3sin(ap/180)&nbsp;t).</p> <p></p> <p style="text-align: left;">La trajectoire de P est une droite, ce que l on peut confirmer avec l outil «&nbsp;lieu&nbsp;»&nbsp;:</p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">On clique sur l outil dans le menu (1 dans la figure ci-contre), puis sur le point (2), puis sur le paramètre (3).</p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">Casyopée confirme que le lieu est inclus dans une droite et propose de la créer.</p> <div style="text-align: left;"> </div> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">Ceci fait, il est intéressant de donner des valeurs différentes à a.</p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">Pour une valeur de 30°, le poursuivant dépasse la cible sans l atteindre. Pour une valeur de 60°, il passe derrière.</p> <div style="text-align: left;"> </div> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">La modélisation automatique de Casyopée va permettre d étudier comment varie la distance entre les deux mobiles.</p> <div style="text-align: left;"> </div> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">On crée des calculs c0 et c1 correspondant respectivement au temps et à la distance.</p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">La modélisation automatique donne une fonction f dont la représentation graphique semble strictement au dessus de l axe des x, sauf pour une valeur de a proche de 48°. La distance s annule pour une valeur de t proche de 0,9.</p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">Pour un angle proche de 48°, la fonction semble affine par morceaux.</p> <div style="text-align: left;"> </div> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">Une autre étude peut être basée sur la l observation que P est à une distance 3t de son point initial, donc sur un cercle de rayon 3t centré sur ce point. En créant ce cercle, on peut animer t de façon qu il passe par le point C. On trouve là aussi une valeur de t proche de 0,9 et un angle proche de 48°.</p> <p></p> <p><img src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image072.jpg" height="237" width="295"></p> <p></p> <p style="text-align: left;">Par le calcul, on trouve alors &nbsp;<img alt="latex: frac{2}{3}" src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image066.gif" title="latex: frac{2}{3}" align="absmiddle" height="31" hspace="5" width="8">&nbsp;pour le cosinus et <img alt="latex: frac{sqrt{5}}{3}" src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image067.gif" title="latex: frac{sqrt{5}}{3}" align="absmiddle" height="33" hspace="5" width="24">pour le sinus. Pour ces valeurs, la fonction a pour formule</p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;"><img alt="latex:text{f}(t)= sqrt{5cdot t^2-frac{12cdot sqrt{5}}{3}cdot t+4}" src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image068.gif" title="latex: text{f}(t)= sqrt{5cdot t^2-frac{12cdot sqrt{5}}{3}cdot t+4}" align="absmiddle" height="35" hspace="5" width="248">&nbsp;et se simplifie en <img alt="latex:text{f}(t)= |sqrt{5}cdot t-2)|" src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image069.gif" title="latex: text{f}(t)= |sqrt{5}cdot t-2)|" align="absmiddle" height="26" hspace="5" width="168"></p> <div style="text-align: left;"> </div> <p style="text-align: left;">Les conjectures sont vérifiées.</p> </td> <td style="width: 395px;"> <p></p> <p><img src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image073.jpg" height="118" width="393"></p> <p><img src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image074.jpg" height="222" width="401"></p> <p></p> <p><img src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image075.jpg" height="295" width="330"></p> <p><img src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image076.jpg" height="159" width="271"></p> <p></p> <p><img src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image077.jpg" height="174" width="247"><img src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image078.jpg" height="180" width="148"></p> <p></p> <p></p> <p><img src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image079.jpg" height="215" width="364"></p> <p></p> <p><img src="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/img/modifCasyop321_fichiers/image080.jpg" height="216" width="376"></p> </td> </tr> </tbody> </table> <div style="clear: both;"></div> </div> <hr> <hr><div class="tbl tblout" onmouseover="this.className = 'tbl tblover'" onmouseout="this.className = 'tbl tblout'"> <table style="border: medium none ; margin: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td><br> </td></tr></tbody></table> </div> <br> </div> <br> <br> <div id="UnderBoxes"> </div> </td> <!-- end center area --> </tr> </tbody></table> </div> <a class="top" href="#top"><img src="inc/img/general/gene_1/up.png" alt="^" style=""></a><div id="footer" style="clear: both;"><a class="copyright" href="http://www.cecill.info/index.fr.html" title="En savoir plus ..." target="_blank">&nbsp;</a>&nbsp;</div> </div> </body></html>