<!DOCTYPE html> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"><head><!--[ GuppY v5.0.9 CeCILL Copyright (C) 2004-2014 by Laurent Duveau - http://www.freeguppy.org/ ]--> <meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8"> <meta name="application-name" content="Casyopée - Lieux géométriques"><title>Casyopée - Lieux géométriques</title> <meta name="description" content="Casyopée: a learning environment dedicated to functions"> <meta name="generator" content="GuppY CMS"> <meta name="author" content="lagrange"> <meta name="keywords" content="casyopée, functions, mathematics, geodynamic geometry, cas, symbolic computation,"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1, maximum-scale=1"> <meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes"> <meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black"> <link rel="shortcut icon" href="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/guppy.ico"> <link rel="alternate" type="application/rss+xml" title="Casyopée : Actualité" hreflang="fr" href="https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/data/fr-news.xml"> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="skins/casyop/style.css"> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="skins/casyop/jqstyle.css"> <style type="text/css" media="screen"> @import url(inc/auto.css); </style> <style type="text/css" media="print"> @import url(inc/print.css); </style> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="inc/csshead/fotorama.css"> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="inc/csshead/menubox.css"> <link type="text/css" rel="stylesheet" href="inc/csshead/slidesjs.css"> <script type="text/javascript"> //<![CDATA[ <!-- var charset = "UTF-8"; var site0 = "Casyopée"; var site3 = "https://casyopee.math.univ-paris-diderot.fr/"; var sValue = screen.width + "||" + screen.height + "||" + screen.availWidth + "||" + screen.availHeight; var today = new Date(), expires = new Date(); expires.setTime(today.getTime() + (365*24*60*60*1000)); document.cookie = "GuppYScreen" + "=" + encodeURIComponent(sValue) + ";expires=" + expires.toGMTString(); //--> //]]> </script> <script type="text/javascript" src="inc/hpage.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jquery-min.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jquery-migrate-min.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jqscript.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/boxmenu_toggle.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/fotorama.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/jquery.imagecube.min.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/sidephoto.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/slides.min.jquery.js"></script> <script type="text/javascript" src="inc/jshead/slidesjs.js"></script></head><body> <div style="padding: 6px;"> <h1 style="text-align: center;"><em style="font-weight: bold;">Lieux géométriques</em><a href="pg96.htm#_Toc364184551"><em><br> </em></a></h1> <p style="margin-left: 24pt;"><a href="pg96.htm#_Toc364184551"><em>Cas où le lieu est inclus dans un objet géométrique (droite ou cercle) 4</em></a></p> <p style="margin-left: 24pt;"><a href="pg96.htm#_Toc364184552"><em>Cas où le lieu est la courbe représentative d une fonction à valeur dans IR.. 4</em></a></p> <p style="margin-left: 24pt;"><a href="pg96.htm#_Toc364184553"><em>Cas général&nbsp;: le lieu est la courbe représentative d une fonction à valeurs dans iR² (courbe paramétrée) 4</em></a></p> <p class="MsoNormal"><span style=""><span style="">Comme les logiciels de Géométrie Dynamique, Casyopée est capable de déterminer le lieu d un point dépendant d un point libre sur cercle, segment, droite, demi-droite ou courbe. Les possibilités de calcul formel de Casyopée lui permettent soit de repérer que le lieu est inclus dans un objet géométrique, droite ou cercle, soit d exprimer ce lieu comme courbe paramétrée d une fonction à valeur dans IR².</span></span></p> <h3><span style=""><span style=""><a name="_Toc364184551"><span style="font-family: &quot;Times New Roman&quot;;">Cas où le lieu est inclus dans un objet géométrique (droite ou cercle)</span></a></span></span><span style=""><span style=""><span style="font-family: &quot;Times New Roman&quot;;"><o:p></o:p></span></span></span></h3> <div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt; margin-right: 72.3pt; margin-left: 60.5pt;"> <p class="MsoNormal" style="border: medium none currentcolor; padding: 0cm; text-align: center;" align="center"><span style=""><span style=""><span style="line-height: 115%;">Considérons le problème suivant&nbsp;: [AB] est un segment de longueur fixe 5, A étant sur l axe des x et B sur la demi-droite «&nbsp;positive&nbsp;» de l axe des y. On cherche le lieu du point M milieu de [AB]<o:p></o:p></span></span></span></p> </div> <p class="MsoNormal"><span style=""><span style="">La <span style="">Figure <span style="">115</span><!--[if gte mso 9]><xml> <w:data>08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003300300037003400310030003700320037000000</w:data> </xml><![endif]--></span><span style="">&nbsp; </span>donne les étapes de la construction (Bloc Note à droite) et la construction obtenue (volet Géométrie à gauche&nbsp;»). Comme dans Geogebra, l entrée lieu est dans un menu avec les droites. </span></span><span style=""><span style="">Choisissez un point, puis un point libre ou un parametre dont il depend</span></span><span style=""><span style="">. </span></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: center;" align="center"><span style=""><span style=""><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" style='width:522.75pt;height:354pt'> <v:imagedata src="/help/imgFrHelp/image273.png" o:title=""/> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="/help/imgFrHelp/image274.jpg" v:shapes="_x0000_i1183" border="0" height="472" width="697"><!--[endif]--></span></span></p> <p class="MsoCaption" style="text-align: center;" align="center"><span style=""><span style=""><a name="_Toc364193872"></a><a name="_Ref307410727"><span style="">Figure </span></a></span></span><!--[if supportFields]><span style='mso-bookmark:_Ref275337918'><span style='mso-bookmark:_Ref275337902'><span style='mso-bookmark:_Ref307410727'><span style='mso-bookmark:_Toc364193872'></span></span></span></span><span style='mso-element:field-begin'></span><span style='mso-bookmark:_Ref275337918'><span style='mso-bookmark:_Ref275337902'><span style='mso-bookmark:_Ref307410727'><span style='mso-bookmark:_Toc364193872'><span style='mso-spacerun:yes'> </span>SEQ Figure * ARABIC <span style='mso-element:field-separator'></span></span></span></span></span><![endif]--><span style=""><span style=""><span style=""><span style=""><span style="">115</span></span></span></span></span><!--[if supportFields]><span style='mso-bookmark:_Ref275337918'><span style='mso-bookmark:_Ref275337902'><span style='mso-bookmark:_Ref307410727'><span style='mso-bookmark:_Toc364193872'></span></span></span></span><span style='mso-element:field-end'></span><![endif]--><span style=""><span style=""><span style="">&nbsp;: Lieu du milieu d un segment de longueur fixe dont les sommets sont sur les axes</span></span></span></p> <p class="MsoNormal"><span style=""><span style=""><span style="">Casyopée</span> repère que le lieu est inclus dans un cercle de rayon 5/2. Il propose de créer ce cercle. Vous confirmez et </span></span><span style=""><span style=""><span style="">Casyopée</span> <span style="">&nbsp;</span>crée le centre, confondu ici avec l origine, puis le cercle. Seul le demi-cercle supérieur est effectivement décrit par M.</span></span></p> <h3 style="text-align: left;"><span style=""><span style=""><a name="_Toc364184552"><span style="font-family: &quot;Times New Roman&quot;;">Cas où le lieu est la courbe représentative d une fonction à valeur dans IR</span></a></span></span><span style=""><span style=""><span style="font-family: &quot;Times New Roman&quot;;"><o:p></o:p></span></span></span></h3> <div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt; margin-right: 72.3pt; margin-left: 60.5pt;"> <p class="MsoNormal" style="border: medium none currentcolor; padding: 0cm; text-align: center;" align="center"><span style=""><span style="">Cherchons maintenant le lieu du point N, milieu de [MB]</span></span></p> </div> <p class="MsoNormal"><span style=""><span style=""><span style="">Casyopée</span> crée une fonction à valeur dans IR puis sa courbe, comme précisé dans le bloc note. On reconnait une demi-ellipse (<span style="">Figure <span style="">116</span><!--[if gte mso 9]><xml> <w:data>08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003300300037003400310030003900370034000000</w:data> </xml><![endif]--></span>).</span></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: center;" align="center"><span style=""><span style=""><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" style='width:523.5pt;height:365.25pt'> <v:imagedata src="/help/imgFrHelp/image275.png" o:title=""/> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="/help/imgFrHelp/image276.jpg" v:shapes="_x0000_i1184" border="0" height="487" width="698"><!--[endif]--></span></span></p> <p class="MsoCaption" style="text-align: center;" align="center"><span style=""><span style=""><a name="_Toc364193873"></a><a name="_Ref307410974"><span style="">Figure </span></a></span></span><!--[if supportFields]><span style='mso-bookmark:_Ref275337918'><span style='mso-bookmark:_Ref275337902'><span style='mso-bookmark:_Ref307410974'><span style='mso-bookmark:_Toc364193873'></span></span></span></span><span style='mso-element:field-begin'></span><span style='mso-bookmark:_Ref275337918'><span style='mso-bookmark:_Ref275337902'><span style='mso-bookmark:_Ref307410974'><span style='mso-bookmark:_Toc364193873'><span style='mso-spacerun:yes'> </span>SEQ Figure * ARABIC <span style='mso-element:field-separator'></span></span></span></span></span><![endif]--><span style=""><span style=""><span style=""><span style=""><span style="">116</span></span></span></span></span><!--[if supportFields]><span style='mso-bookmark:_Ref275337918'><span style='mso-bookmark:_Ref275337902'><span style='mso-bookmark:_Ref307410974'><span style='mso-bookmark:_Toc364193873'></span></span></span></span><span style='mso-element:field-end'></span><![endif]--><span style=""><span style=""><span style="">&nbsp;: Lieu d un point<span style="">&nbsp; </span>sur un segment de longueur fixe dont les sommets sont sur les axes</span></span></span></p> <h3><span style=""><span style=""><a name="_Toc364184553"><span style="font-family: &quot;Times New Roman&quot;;">Cas général&nbsp;: le lieu est la courbe représentative d une fonction à valeurs dans iR² (courbe paramétrée)</span></a></span></span><span style=""><span style=""><span style="font-family: &quot;Times New Roman&quot;;"><o:p></o:p></span></span></span></h3> <div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt; margin-right: 72.3pt; margin-left: 60.5pt;"> <p class="MsoNormal" style="border: medium none currentcolor; padding: 0cm; text-align: center;" align="center"><span style=""><span style="">Considérons la construction de la parabole par foyer et directrice. </span></span></p> </div> <p class="MsoNormal"><span style=""><span style="">Dans le cas où la directrice est parallèle à l axe des x, on obtiendra comme dans le cas précédent la courbe d une fonction à valeur dans IR. Considérons donc la droite (ij) comme directrice et l origine o comme foyer. Le Bloc Note (<span style="">Figure <span style="">117</span><!--[if gte mso 9]><xml> <w:data>08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003300300037003400320031003100310031000000</w:data> </xml><![endif]--></span>) montre que la création du lieu est passée par la création d une nouvelle fonction géométrique à valeur dans IR² et l affichage de la courbe de cette fonction. Noter que l identificateur de variable <i>t</i> a été automatiquement choisi par </span></span><span style=""><span style=""><span style="">Casyopée</span> pour éviter toute confusion. </span></span></p> <p class="MsoNormal"><span style=""><span style="">Il ya une liaison dynamique entre le point libre et le viseur sur les graphes de la fonction à valeur dans IR², dans les deux sens</span></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: center;" align="center"><span style=""><span style=""><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" style='width:453pt;height:300pt'> <v:imagedata src="/help/imgFrHelp/image277.png" o:title=""/> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="/help/imgFrHelp/image278.jpg" v:shapes="_x0000_i1185" border="0" height="400" width="604"><!--[endif]--></span></span></p> <p class="MsoCaption" style="text-align: center;" align="center"><span style=""><span style=""><a name="_Toc364193874"></a><a name="_Ref307421111"><span style="">Figure </span></a></span></span><!--[if supportFields]><span style='mso-bookmark:_Ref275337918'><span style='mso-bookmark:_Ref275337902'><span style='mso-bookmark:_Ref307421111'><span style='mso-bookmark:_Toc364193874'></span></span></span></span><span style='mso-element:field-begin'></span><span style='mso-bookmark:_Ref275337918'><span style='mso-bookmark:_Ref275337902'><span style='mso-bookmark:_Ref307421111'><span style='mso-bookmark:_Toc364193874'><span style='mso-spacerun:yes'> </span>SEQ Figure * ARABIC <span style='mso-element:field-separator'></span></span></span></span></span><![endif]--><span style=""><span style=""><span style=""><span style=""><span style="">117</span></span></span></span></span><!--[if supportFields]><span style='mso-bookmark:_Ref275337918'><span style='mso-bookmark:_Ref275337902'><span style='mso-bookmark:_Ref307421111'><span style='mso-bookmark:_Toc364193874'></span></span></span></span><span style='mso-element:field-end'></span><![endif]--><span style=""><span style=""><span style="">&nbsp;: Construction d une parabole par foyer et directrice non parallèle à l axe des x</span></span></span></p> </div> </body></html>