Casyopée - Modélisation à partir d’un paramètre

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Ils l'ont dit : J'ai traité des exercices d'optimisation avec Casyopée. Il permet pour ce type de recherche une disparition presque complète de l'énoncé, l'élève arrivant à des résultats qu'il démontrera ultérieurement. Le logiciel permet de plus de réinvestir des stratégies de base. Un enseignant

Ils l'ont dit : Casyopée est plus rapide et plus commode qu'une calculatrice…. On a en même temps le côté géométrique et algébrique du problème. On voit mieux comment une fonction « réagit ». C’est pratique et intéressant. Une élève

Ils l'ont dit : Casyopée permet de faire les calculs facilement d’une dérivée, de factoriser, de calculer les zéros… et d’avoir à côté dans la même fenêtre un graphique de la fonction. Il permet sur un problème géométrique de pouvoir établir des variables qui pourront ensuite servir pour étudier le problème par des fonctions… Une élève

Ils l'ont dit : Casyopee est une application puissante utile à la fois pour les étudiants et les enseignants Il vous permet d'utiliser divers outils d'exploration et de modélisation, dans le but d'étudier ou d'enseigner des fonctions mathématiques. Softpedia

Ils l'ont dit : Casyopee a beaucoup de fonctionnalités. Il existe une aide pour prouver les propriétés d'une fonction et une fonctionnalité pour l'écriture de rapports HTML qui comprennent les fonctions mathématiques. Casyopee garantit les progrès en mathématiques de ses utilisateurs. phpnuke.org

Ils l'ont dit : Hormis les nombres, la notion de fonction est la plus importante en mathématiques. David Hilbert

Ils l'ont dit : La notion de fonction est présente dans toutes les disciplines scientifiques, mais aussi dans la vie courante. Notre expérience d’enseignants nous prouve quotidiennement qu’il pose problème pour de nombreux élèves. Les situations avec Casyopée sont également utilisables en dehors d’un environnement technologique et chacun pourra réfléchir sur sa pratique professionnelle. Une universitaire

Modélisation à partir d’un paramètre

Supposons que des points dépendent d’un paramètre. Il est intéressant d’obtenir le lieu d’un tel point et de modéliser des dépendances entre grandeurs mettant en jeu ce paramètre.

Voici un exemple.

On considère un mobile « Cible » animé d’un mouvement uniforme de vitesse 2 sur une trajectoire rectiligne, et un mobile « Poursuivant » animé d’un mouvement uniforme de vitesse 3, faisant un angle a en degrés avec la trajectoire de la « Cible ».

Les deux mobiles ont une distance initiale de 2, et le segment qui les joint est perpendiculaire à la trajectoire de la « Cible ».

Comment modéliser ces mobiles ? Pour quelles valeurs de a, le « Poursuivant » peut-il atteindre la « Cible » ?

On crée tout d’abord deux paramètres, t pour le temps, et a pour l’angle en degrés, comme ci-contre. On crée un point C repéré de coordonnées (2t ;0) pour la « Cible ») et un point P repéré pour le

« Poursuivant » de coordonnées : (3cos(ap/180) t ; 2-3sin(ap/180) t).

La trajectoire de P est une droite, ce que l’on peut confirmer avec l’outil « lieu » :

On clique sur l’outil dans le menu (1 dans la figure ci-contre), puis sur le point (2), puis sur le paramètre (3).

Casyopée confirme que le lieu est inclus dans une droite et propose de la créer.

Ceci fait, il est intéressant de donner des valeurs différentes à a.

Pour une valeur de 30°, le poursuivant dépasse la cible sans l’atteindre. Pour une valeur de 60°, il passe derrière.

La modélisation automatique de Casyopée va permettre d’étudier comment varie la distance entre les deux mobiles.

On crée des calculs c0 et c1 correspondant respectivement au temps et à la distance.

La modélisation automatique donne une fonction f dont la représentation graphique semble strictement au dessus de l’axe des x, sauf pour une valeur de a proche de 48°. La distance s’annule pour une valeur de t proche de 0,9.

Pour un angle proche de 48°, la fonction semble affine par morceaux.

Une autre étude peut être basée sur la l’observation que P est à une distance 3t de son point initial, donc sur un cercle de rayon 3t centré sur ce point. En créant ce cercle, on peut animer t de façon qu’il passe par le point C. On trouve là aussi une valeur de t proche de 0,9 et un angle proche de 48°.

Par le calcul, on trouve alors $latex: frac{2}{3}$ pour le cosinus et $latex: frac{sqrt{5}}{3}$ pour le sinus. Pour ces valeurs, la fonction a pour formule

$latex:text{f}(t)= sqrt{5cdot t^2-frac{12cdot sqrt{5}}{3}cdot t+4}$ et se simplifie en $latex:text{f}(t)= |sqrt{5}cdot t-2)|$

Les conjectures sont vérifiées.

Date de création : 01/12/2014 - 17h06
Catégorie : - aide
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