Casyopée - Modélisation à partir d’un paramètre
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Supposons que des points  dépendent d’un paramètre. Il est intéressant d’obtenir le lieu d’un tel point et de modéliser des dépendances entre grandeurs mettant en jeu ce paramètre.

Voici un exemple.

On considère un mobile « Cible » animé d’un mouvement uniforme de vitesse 2 sur une trajectoire rectiligne, et un mobile « Poursuivant » animé d’un mouvement uniforme de vitesse 3, faisant un angle a en degrés avec la trajectoire de la  « Cible ».

Les deux mobiles ont une distance initiale de 2, et le segment qui les joint est perpendiculaire à la trajectoire de la « Cible ».

Comment modéliser ces mobiles ? Pour quelles valeurs de a, le « Poursuivant » peut-il atteindre la « Cible » ?

On crée tout d’abord deux paramètres, t pour le temps, et a pour l’angle en degrés, comme ci-contre. On crée un point C repéré de coordonnées (2t ;0) pour la « Cible ») et un point P  repéré pour le

« Poursuivant » de coordonnées : (3cos(ap/180) t ; 2-3sin(ap/180) t).

La trajectoire de P est une droite, ce que l’on peut confirmer avec l’outil « lieu » :

On clique sur l’outil dans le menu (1 dans la figure ci-contre), puis sur le point (2), puis sur le paramètre (3).

Casyopée confirme que le lieu est inclus dans une droite et propose de la créer.

Ceci fait, il est intéressant de donner des valeurs différentes à a.

Pour une valeur de 30°, le poursuivant dépasse la cible sans l’atteindre. Pour une valeur de 60°, il passe derrière.

La modélisation automatique de Casyopée va permettre d’étudier comment varie la distance entre les deux mobiles.

On crée des calculs c0 et c1 correspondant respectivement au temps et à la distance.

La modélisation automatique donne une fonction f dont la représentation graphique semble strictement au dessus de l’axe des x, sauf pour une valeur de a proche de 48°. La distance s’annule pour une valeur de t proche de 0,9.

Pour un angle proche de 48°, la fonction semble affine par morceaux.

Une autre étude peut être basée sur la l’observation que P est à une distance 3t de son point initial, donc sur un cercle de rayon 3t centré sur ce point. En créant ce cercle, on peut animer t de façon qu’il passe par le point C. On trouve là aussi une valeur de t proche de 0,9 et un angle proche de 48°.

Par le calcul, on trouve alors  latex: frac{2}{3} pour le cosinus et latex: frac{sqrt{5}}{3}pour le sinus. Pour ces valeurs, la fonction a pour formule

latex:text{f}(t)= sqrt{5cdot t^2-frac{12cdot sqrt{5}}{3}cdot t+4} et se simplifie en latex:text{f}(t)= |sqrt{5}cdot t-2)|

Les conjectures sont vérifiées.


Date de création : 01/12/2014 - 17h06
Catégorie : - aide
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