Phase 1

Il s'agit de favoriser l'expression orale. Certains élèves peuvent ne pas faire de différence entre le point haut et le point bas, imaginant un mouvement uniforme en montée et en descente, d'autres notant un changement brutal au point bas et plus doux au point haut. La question reste ouverte.

Phase 2

Les élèves suivent une construction qu'ils justifient en utilisant leurs connaissances en trigonométrie. Le processus d'enroulement doit souvent être réexpliqué. Puis ils créent le point N (nacelle) sous la contrainte MP+PN=2. Ils peuvent créer N soit comme intersection d'un cercle et de l'axe des y, soit directement avec ses coordonnées. Il n'est pas immédiat pour les élèves de faire intervenir la grandeur 2-MP dans l'une ou l'autre des constructions.
Les élèves disposent alors d'une figure en géométrie dynamique qu'ils peuvent animer. Leurs conjectures sur le mouvement de la nacelle montrent souvent une meilleure appréhension du phénomène. Certains reviennent au système physique pour confirmer leur conjecture.
Certains élèves expriment leur conjecture sous forme d'une courbe. Généralement la courbe est formée de segments avec un aplatissement marquant le point haut.

Phase 3

Les formules obtenues dépendent des grandeurs choisies pour exprimer la dépendance Par exemple, si l'élève choisit la variable jA (la longueur de la corde tirée) et l'ordonnée du point N comme la valeur, la fonction exportée dans la fenêtre algébrique sera définie sur [0 ;12] et sa formule sera, dans le cas d'une construction de N par ses coordonnées:

D'autres formules peuvent être obtenues, par exemple dans le cas d'une construction avec un cercle, ou d'un choix de variable différent (par exemple EA au lieu de jA, PN au lieu de l'ordonnée du point N).

Phase 4

Les élèves font la représentation graphique dans Casyopée. Certains se contentent alors d'un tableau de variations calqué sur la courbe sans noter de différence entre point haut et point bas. Généralement ils notent la périodicité. Ceux qui s'intéressent à la dérivée utilisent Casyopée pour le calcul, tout en ignorant les avertissements concernant la possibilité de valeurs interdites. Il faut souvent leur faire observer le segment vertical sur la représentation graphique pour qu'ils prennent conscience de la non dérivabilité en 3pi/2 et 7pi/2. Ils remarquent généralement les zéros de la dérivée sur le graphique. Les valeurs pour les zéros et les discontinuités sont obtenues en revenant sur la figure en géométrie dynamique ou le système physique (point haut et point bas).

Une bonne moitié des élèves mettent en relation les zéros de la dérivée avec une vitesse nulle au point haut, et les discontinuités avec un « rebond » au point bas.

Les élèves qui notent la discontinuité de la dérivée attribuent souvent cette propriété à la fonction elle-même.

Quelques copies d'élèves :

• Élève 1
• Élève 2
• Élève 3