Ce document fait suite aux documents :

Document de Reference : donne les motivations et fondements mathématiques de la situation.

Mise en œuvre en classe : précise les modalités du travail ; dans une première phase les groupes travaillent sur trois tâches différentes puis dans une deuxième phase, de nouveaux groupes étant constitués, mettent en commun les résultats pour construire un algorithme.

Ce document présente puis analyse le travail d'un groupe de trois élèves au cours de la deuxième phase à partir d'un enregistrement vidéo et du document « papier/crayon» réalisé par les élèves. Comme les élèves utilisent pour la première fois le module « Créer Fonction par un algorithme » de Casyopée, l'observateur les guide pour l'utilisation de ce module et d'autres fonctionnalités de ce logiciel. Un des élèves du groupe (E.M. élève « moteur » dans la suite) dirige les débats dans le groupe, échangeant avec l'observateur et les deux autres élèves du groupe auxquels il n’hésite pas à expliquer sa démarche et sa compréhension du module de création d’une fonction par un algorithme. Les calculatrices (TI 83) sont présentes et l’écriture d’un programme sur cette calculatrice se fait avec un léger décalage par rapport au programme écrit avec le logiciel.

Observation

Travail géométrique (14 minutes)

Dans une première partie les élèves cherchent à placer des points dans le volet de géométrie dynamique du logiciel. Un élève a déjà commencé ce travail dans la phase 1 et l'observateur conseille de recommencer en ouvrant un nouveau fichier. Cela permet aux deux autres élèves de comprendre la démarche choisie.

Les élèves entrent les coordonnées du premier point et tracent la première tangente dans la fenêtre de géométrie dynamique du logiciel Casyopée. L'observateur les guide pour créer une droite de pente donnée «essayez de faire une droite de pente, la pente c’est f ‘(1) ».

Puis il doit aussi intervenir pour la construction du point d'abscisse 2 :« je vous aide un peu, le deuxième point en montant, il paraît bien parce qu’on n’a pas d’autres moyen de le mettre ; on ne connaît pas la courbe, on ne peut le mettre que sur la tangente »

E.M.  remarque : « c’est bizarre de mettre sur la tangente » et l'observateur rappelle qu’on approxime une courbe.

Après le tracé de la tangente approchée au point d'abscisse 2, une méthode pour créer le point d’abscisse 3 se met en place. L'observateur propose d'utiliser une fonctionnalité du logiciel : «équation de la tangente (pour x = 2), demandez son équation et notez son équation. Calculez f(3) (sous entendu une valeur approchée) »

Travail algorithmique (25 minutes)

E.M : «  je commence à comprendre ce que l’on doit faire avec la vision sur l’écran de la courbe à obtenir  », expliquant aux deux autres élèves « on met ce point là en 1, ensuite on lui demande de faire la tangente comme ça ». Un autre élève : « on prend le point 2 de la tangente »

E.M.  propose de travailler avec un pas de 1/10 : « on va lui demander de prendre 0,1, comme ça de 0,1 en 0,1 ».

Un autre élève demande : « on fait direct sur la calculatrice ou sur l’ordi »

E.M : « comment coder sur l’ordi ? »

L'observateur précise : «  écrivez sur le papier d’abord » puis explique qu’il faut d’abord entrer les coordonnées du premier point puis choisir la boucle Tant que ou Pour ou Répéter.
Les élèves choisissent la boucle Pour et cherchent à entrer la valeur d’un pas comme sur la calculatrice. l'observateur indique que ce n’est pas possible et précise « dans ce cas, mettre de 1 à 50 et vous diviserez par 10 ». Il réalise que son indication n'est pas comprise et qu'adopter un pas de 1/10 d'emblée va être difficile pour les élèves. «  Faîtes d’abord avec un pas de 1, de 1 à 5 ; ça vous simplifiera le programme, on le modifiera après » . Les élèves comprennent que x va prendre les valeurs 1, 2, 3 , 4 et 5 et l'observateur précise que : «  maintenant c’est y qu’il va falloir faire évoluer ».
Il demande aux élèves de schématiser la construction de y et ils réalisent le schéma suivant :

E.M. déclare: « f(1) =0,66 ; f(2) 1,66 , on a ajouté  » et les élèves entrent dans la boucle l'instruction :

L'algorithme est alors le suivant

E.M. ressent la nécessité d'une instruction de sortie: « il faut faire afficher les points ». L'observateur indique comment on peut obtenir la courbe de la fonction ainsi créée : « non, testez et la machine va le faire, c’est un avantage par rapport à la calculatrice ».

L'affichage de la courbe révèle une erreur : la ligne brisée est décalée vers le haut. En effet, le logiciel considère les valeurs de (x,y) à la sortie de la boucle, donc avant l'incrémentation de x.

Les élèves décident de déclarer une nouvelle variable « compteur » I et de faire évoluer x par une affectation dans la boucle :.

Cette instruction est d'abord placée avant l'instruction faisant évoluer y. Il est visible sur l'affichage que les pentes des tangentes ne sont pas correctes. Les élèves corrigent en intervertissant les lignes dans le corps de boucle et obtiennent un affichage correct.

E.M. propose de diminuer le pas en adaptant le parcours de I et l'évolution de x : « du coup on peut mettre de façon plus précise de 1 à 50 et en mettant 0,1 pour x ».

C'est ce qui est fait, mais l'affichage produit une courbe largement en dehors de l'écran.

Les élèves reviennent au schéma de construction de la tangente et des points et après un temps d'hésitation corrigent la ligne 5 en

Les élèves reportent cette seconde version de l'algorithme en corrigeant la première version.

Travail symbolique (10 minutes)

E.M. fait vite le rapport avec la dérivation de et les élèves en déduisent la fonction cachée f. En affichant la courbe de f et celle de la fonction créée par l’algorithme ils s’aperçoivent avec satisfaction que graphiquement elles coïncident.

Evaluation

Il s'agit d'un groupe d'élèves relativement à l'aise avec les tâches demandées et bénéficiant de l'aide d'un observateur, et ils réussissent ces tâches dans le temps imparti. Nous récapitulons les points qui ont pu constituer des difficultés. Ces difficultés ont été rencontrées et parfois non surmontées par les autres groupes.

Le travail géométrique

Le tracé des droites et la fonctionalité correspondante du logiciel, ainsi que la technique pour porter un point sur la tangente sont bien compris. En revanche, les élèves restent indécis quant au statut d'un point ainsi porté.Comment un point d'une courbe peut-il être sur la tangente en un autre point ? Les élèves ne font pas le lien avec la tâche C de la première phase et plus généralement avec la problématique d'approximation.

Dans le travail algorithmique

L'environnement de programmation de Casyopée permet facilement de séparer initialisation et boucle. Les élèves sont influencés par un travail sur la calculatrice: l'affichage de points de la courbe d'une fonction avec un pas donné. C'est pourquoi ils proposent une boucle POUR sur la variable x avec un pas de 0,1. Mais l'adaptation n'est pas aisée. D'une part, seul un pas de 1 est prévu dans l'environnement de programmation de Casyopée, d'où la suggestion de l'observateur d'adopter un pas de 1. D'autre part, dans l'affichage de points d'une courbe, y est calculé dans la boucle sans référence à sa valeur antérieure, alors dans l'algorithme en jeu, le calcul prend en compte la valeur antérieure. Le calcul tel que proposé par les élèves , à partir du schéma de construction, calcule l'ordonnée pour une abscisse x+1 et pas x. L'introduction d'une variable compteur permet de faire évoluer explicitement x dans le corps de boucle. Le point délicat est celui de l'ordre des instructions dans le corps de boucle. Le choix des élèves de faire évoluer x avant y paraît naturel , mais ici ce n'est pas adapté car, comme dit plus haut calcule l'ordonnée pour une abscisse x+1. La visualisation invalide ce choix et donc les élèves corrigent, mais ont-ils vraiment compris ? L'observation ne permet pas de le décider.

Le travail symbolique

Les élèves ont bien intégré les règles de dérivation et l'inteprétation de la racine carrée comme la puissance d'exposant 1/2. Ultérieurement la problématique d'approximation pourra être reprise en comparant la courbe de la fonction trouvée avec celle de la fonction définie par un algorithme.