En Première, approximation d'une fonction dont on connait la fonction dérivée

Motivation

La notion de nombre dérivé puis de fonction dérivée est centrale dans la partie analyse du programme. Le nombre dérivé prend sens comme limite du quotient différentiel et dans le tracé de la tangente en un point. L'objectif du travail proposé ici n'est pas relatif à la notion de primitive qui sera abordée en Terminale, mais plutôt  à la relation  fonction dérivée, nombre dérivé et tangente.
Ce travail vise à la construction approchée de la courbe d’une fonction inconnue, mais dont la fonction dérivée et la valeur en un point sont données.
Il est d'abord d'ordre géométrique:  un nombre de pas et un point initial étant choisis, on construit la droite passant par le point et de pente la valeur de la dérivée en ce point. On réitère ensuite la construction en prenant un point sur la droite dont l’abscisse est celle du point précédent, augmentée de le longueur du pas.
Il est ensuite d'ordre algorithmique: après une première construction à la main avec un nombre de pas réduit, un algorithme itératif permet de systématiser la construction pour un plus grand nombre de pas de façon à obtenir une meilleure approximation.
Il est enfin d'ordre symbolique: il s'agit d'obtenir une expression de la fonction inconnue à partir de connaissance sur les dérivées des fonctions usuelles. Il est possible de vérifier par comparaison  du graphe de la fonction ainsi obtenue et de la courbe approchée  obtenue avec l'algorithme.
Le travail proposé présente l'avantage de combiner géométrie et algorithmique avec le calcul symbolique. Ces deux aspects permettent d'éviter que la notion de dérivée se limite à un aspect purement calculatoire.

Le choix de la fonction inconnue

Nous choisissons d'étudier une fonction f dérivable sur [1 ; 5] telle que  et . Une expression de f est .
Cette fonction est choisie de façon à ce que la réponse ne soit pas directement déduite à partir d'une liste des dérivées de fonctions usuelles. Le choix de la valeur en 1 permet d'éviter l'ajout d'une constante, question qui est abordée en Terminale.

Travail géométrique

Note : ce travail peut être conduit dans le volet de géométrie de Casyopée. Dans ce volet, les pentes des droites peuvent être entrées de façon symbolique (√1, √2, √3, √4), plutôt que comme des valeurs approchées et la construction peut être comparée aux courbes qui seront obtenues dans les deux autres étapes.

Choisissons un pas de longueur 1 et donc 4 pas dans l'intervalle.
Construisons le point A de coordonnées (1;⅔) et la droite de pente √1=1. Cette droite est la tangente à la courbe représentant la fonction inconnue f au point A.
 
Construisons le point B d'abscisse 2 sur cette droite. Il peut être construit comme intersection de la droite avec une parallèle à l'axes des y.

Le point B n'est pas sur la courbe de la fonction inconnue f, mais son ordonnée est ici considérée comme proche de f(2).
Nous traçons la droite de pente √2 passant par B. Elle n'est pas tangente à la courbe, mais elle lui est parallèle et en est proche.
Nous itérons en construisant le point C d'abscisse 3 sur cette droite et la droite de pente √3 passant par C, puis de même pour les points D et E respectivement d'abscisse 4 et 5.

Nous cachons les droites pour n'afficher que les segments. La ligne brisée obtenue est considérée comme approchant la courbe de la fonction inconnue f.

 

Travail algorithmique

Nous allons montrer comment ce travail peut être effectué avec le module de  programmation de Casyopée. D'autres choix seraient possibles, mais ce choix permet  de définir une fonction approchée et  de la comparer  à  la  fonction  inconnue pour un nombre de pas variable.
Nous supposons définie dans le volet d'algèbre la fonction f  définie  sur [1;5]  par ainsi que sa dérivée.
Dans l'environnement donné pour le travail des élèves, l'expression de la dérivée est visible, mais pas celle de la fonction: voir la partie mise en oeuvre. Nous créons aussi un paramètre n positif représentant le nombre de pas.

Nous allons définir une fonction par un algorithme. Nous donnons l'algorithme et l'utilisation de la fonction qu'il définit.

L'algorithme

Les lignes 1 et 2 initialisent les coordonnées du point courant pour l'extrémité gauche de la courbe représentant la fonction inconnue f (point A ci-dessus). La ligne 3 définit la longueur du pas (n pas dans un intervalle d'amplitude 4). La ligne 4 initialise une variable compteur.
Les lignes 6 et 7 constituent le corps d'une boucle POUR, qui sera répété n fois.
La valeur de l'ordonnée du point suivant est calculée en ligne 6. Elle se déduit de l'équation de la droite passant par le point courant et de pente f '(x) : y=y_I + f '(x_I) (x-x_I) , x_I et y_I étant les coordonnées du point courant. On obtient y_I+1= y_I+f '(x_I) (x_I+1-x_I)= y_I+f '(x_I) h .
La ligne 7 calcule la valeur suivante de l'abscisse du point courant.
L'algorithme permet de définir une fonction affine par morceaux g telle que g(x)=y pour chaque couple de valeurs de (x, y) obtenus dans l'itération. Voir le lien pour les modalités de création.

L'utilisation de la fonction

La fonction apparaît dans la liste des fonctions avec l'identificateur (ici g) et le commentaire que nous avons choisi.

Il existe aussi une entrée dans le menu courbe du volet de géométrie.

Nous activons cette entrée et nous donnons la valeur 4 au paramètre n. Nous constatons que la courbe de g se superpose aux segments construits à l'étape précédente.

Avec une valeur supérieure (ici 10) pour n, la courbe de g s'éloigne des segments pour des valeurs croissantes de l'abscisse.

Comparons avec la courbe de la fonction f. L'approximation est meilleure pour n=10 qu'avec les 4 segments.

Passons dans le volet graphique pour une étude sur des valeurs plus grandes de n.

Les graphes des fonctions f et g sont indiscernables. Nous pouvons étudier f-g en créant cette fonction et en zoomant.


Nous pouvons aussi utiliser la table

Travail symbolique

Comme nous l'avons dit en introduction, il s'agit d'obtenir une expression de la fonction inconnue à partir de connaissance sur les dérivées des fonctions usuelles. Cela utilise la propriété de la dérivée des fonctions x →k x^a , a étant un paramètre non nul. Cette dérivée étant la fonction x →ka x^a-1, il s'agit de l'identifier à la fonction x →√x. Exprimant √x comme x^1/2, il vient a-1=1/2 et ka=1. Après calcul de a et k, et interprétation de l'expression x^3/2, on obtient la fonction définie par . On vérifie qu'elle prend la valeur 2/3 en 1.