Préférences

Se reconnecter :
Votre nom (ou pseudo) :
Votre mot de passe


  Nombre de membres 23 membres
Connectés :
( personne )
Snif !!!
Recherche
Recherche
Lettre d'information
Pour avoir des nouvelles de ce site, inscrivez-vous à notre Newsletter.
D4LFM
Recopier le code :
Visites

   visiteurs

   visiteurs en ligne

Organisation

La séance s'adresse à une classe de Première S de 33 élèves. Elle a lieu en salle ordinaire. Les élèves ont à leur disposition des ordinateurs portables avec Casyopée et un fichier .CAS où la dérivée où la fonction f et sa fonction dérivée ont été créees, mais où seule la fonction dérivée est visible. La fonction f est donc cachée. Ceci a été préparé très simplement par l'enseignante. Voir l'aide ici.
Ils ont aussi à leur disposition leur calculatrice.
La séance se déroule en deux phases de travail de groupe d'une demi-heure chacune, suivies d'une synthèse collective.

Phase 1

Dans la première phase, les élèves sont répartis en six groupes. Deux groupes font la tâche A ci-dessous. Deux groupes font la tâche B ci-dessous. Deux groupes font la tâche C ci-dessous. Les tâches A et B sont proches. Il s'agit de construire la tangente au point d'abscisse 1, puis des tangentes "approchées" à la courbe représentative de f. La tâche A se fait en environnement "casyopée" et la tâche B en environnement "papier crayon". Les propriétés à utiliser par les élèves sont :

  1. un point sur la tangente est "proche" de la courbe
  2. la pente de la tangente en un point de la courbe est le nombre dérivé en ce point, c'est à dire la valeur de la fonction dérivée pour l'abscisse de ce point.

Pour la tâche A, les élèves peuvent créer le point d'abscisse 2 (resp. 3, 4 5) par intersection de la tangente ("approchée") déjà créée avec une parallèle à l'axe des y. On peut s'attendre cependant à ce que des élèves placent ce point au jugé sur cette droite, de façon à ce que son abscisse soit 2 (resp. 3, 4 5), ce qui n'est pas gênant ici. Ensuite ils sont guidés pour la construction de la tangente "approchée" en ce point.
Pour la tâche B, en papier crayon, les points sont portés en s'aidant du repère et la construction d'une droite de pente donnée passant par un point donné est classique : "je vais à droite de 1, je monte de la valeur de la pente". Il est possible que certains élèves calculent l'équation des tangentes ("approchées") avant de les tracer, ce qui nécessite un calcul de l'ordonnée du point porté précedemment.
Pour la tâche C, il s'agit de réactiver la définition du nombre dérivé. On peut penser que les élèves vont directement assimiler le quotient différentiel à ce nombre et conclure par exemple  .

L'ensemble des trois tâches prépare les élèves à la conception d'un algorithme demandé dans la phase 2. Les tâches A et B conduisent à un processus en cinq étapes permettant de construire cinq points "proches" de la courbe.
La tâche C conduit à considérer le calcul de valeurs approchées de la fonction pour différents pas. Ces valeurs approchées sont les ordonnées de points "proches" de la courbe.
 

Tâche A ( graphique – ordinateur)

Soit f la fonction dérivable sur [1;5] connaissant :

  • la fonction dérivée de f est la fonction telle que, pour tout x de [1;5], .

a) Créer avec Casyopée le point de la courbe représentative de f d'abscisse 1. Créer ensuite la tangente en ce point à cette courbe (Menu Créer Objet, Droite, Droite de pente donnée passant par un point).

b) Sur cette droite, créer le point d'abscisse 2 que l'on considérera comme « proche » de la courbe. Créez ensuite une droite de pente que l'on considérera comme « approchant » la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2.

c) Faire de même pour des points d'abscisses 3, 4 et 5.

Tâche B ( graphique – papier - crayon)

Soit f la fonction dérivable sur [1;5] connaissant :

  • la fonction dérivée de f est la fonction telle que, pour tout x de [1;5], .

a) Construire dans un repère adéquat la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1.

b) Sur cette droite, placer le point d'abscisse 2 que l'on considérera comme « proche » de la courbe. Construire ensuite une droite de pente que l'on considérera comme « approchant » la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2.

c) Tracer de même des droites « approchant » les tangentes à la courbe de f aux points d'abscisses 2, 3, 4 et 5.

Tâche C (numérique)

Soit f la fonction dérivable sur [1;5] connaissant :

  • le nombre dérivé de f en 1 :

Proposer une valeur approchée de , , , .

Phase 2

Dans cette phase, les élèves travaillent par groupes de trois. Il leur est demandé de concevoir un algorithme de tracé "d'approximations de la courbe" de la fonction cachée (texte encadré ci-dessous).
Chaque groupe compte un élève ayant fait la tâche A, un élève ayant fait la tâche B et un élève ayant fait la tâche C. On s'attend à ce que les travaux soient mis en commun. Comme souligné plus haut, les tâches A et B permettent de voir le tracé comme un processus à plusieurs étapes: une initialisation, puis la répétition de quatre constructions. Les élèves peuvent donc reconnaître un processus itératif. Le passage à un algorithme numérique implique le calcul dans le corps de l'itération (corps de boucle) de l'ordonnée du point courant. Celui ci est préparé par la tâche C. Cette tâche suggère aussi que plusieurs pas peuvent être utilisés.

Le pas 1(ci-dessous partie gauche) est cohérent avec le calcul de f(2) dans la tâche C et les abscisses des points dans les tâches A et B. Une itération pour ce pas sera sans doute la plus facile (ou la moins difficile) à mettre en place. La tâche C suggère que des pas plus petits peuvent être utilisés, ce qui nécessite une adaptation de l'algorithme. Par exemple, ci-dessous (partie gauche) pour un pas de 1/10.

 

Il est possible que dans une première version, les élèves choisissent x comme varaible de boucle, plutôt qu'un compteur I, ce qui peut constituer une difficulté pour le changement de pas.
Lors de la synthèse le professeur pourra montrer l'utilisation d'un pas variable. comme dans le document de référence.

Il est demandé aux élèves d'implanter l'algorithme avec le logiciel Casyopée et avec leur calculatrice. Avec Casyopée, les algorithmes tels que ceux qui viennent d'être présentés définissent tels quels une fonction par algorithme  dont les élèves pourront facilement faire tracer la courbe par le logiciel et comparer à leur construction de la tâche A, ou à la courbe de la fonction f cachée. Ils sont plus familliers de l'environnement de programmation de leur calculatrice, mais l'algorithme est moins facile à utiliser dans cet environnement.

On cherche une approximation de la courbe représentative d'une fonction f dérivable sur [1;5] connaissant :

  • la dérivée de f est la fonction telle que, pour tout x de [1;5],

A partir des travaux que vous avez effectués, proposer un algorithme permettant d'obtenir le tracé d'approximations de la courbe de cette fonction. L'implanter avec le logiciel Casyopée et sur calculatrice.


Date de création : 25/01/2018 - 18h34
Dernière modification : 25/01/2018 - 18h34
Catégorie : -
Page lue 387 fois


Réactions à cet article

Personne n'a encore laissé de commentaire.
Soyez donc le premier !