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Nous détaillons les quatre méthodes expérimentales, puis l'étude mathématique.

Première méthode expérimentale

Observation de l'aire sous les courbes représentatives des fonctions définies sur [0;1]par

De nombreux logiciels permettent de visualiser et d'estimer l'aire entre la courbe d'une fonction et l'axe des x, entre deux valeurs de l'abscisse.
Pour faire ceci avec Casyopée voir ici. Ci-dessous, les courbes des fonctions f5, f18, f20,  f29 et f39. Les valeurs approchées sont respectivement 0,194 ; 0,059; 0,054 ; 0,040, ce qui permet de conjecturer une suite décroissante.

Pour des valeurs plus importantes de l'indice (200, 2000), l'aire continue visuellement à diminuer jusqu'à ne plus être visible ce qui permet de conjecturer une limite nulle de la suite. Cependant, le calcul approché de l'aire par le logiciel donne manifestement des valeurs erronées (0,025 dans les deux cas).

Seconde méthode expérimentale

Calcul exact des valeurs de la suite, par calcul formel des primitives.

Le calcul formel ne permet pas d'obtenir une valeur du terme générique un de la suite. Il permet en revanche d'obtenir des primitives des fonctions  pour des valeurs particulières de n.
Voir ici comment faire avec Casyopée. Ci-dessous les  pour n allant de 0 à 5, et les primitives données par Casyopée. Les expressions deviennent très longues !

Casyopéée peut ensuite calculer des valeurs exactes et des valeurs approchées des intégrales, termes de la suite grâce à l'entrée calculer formule du menu du volet d'algèbre.
On continue ensuite jusqu'à n = 18 et on obteient des valeurs approchées  cohérentes avec la méthode précédente.

En revanche, pour n = 19, on obtient une valeur approchée négative, puis des valeurs approchées de plus en plus grandes en valeur absolue.

L'explication est simple: les valeurs exactes sont ...exactes, mais Casyopée, comme d'autres logiciels, considère une approximation de e dans les calculs approchées

2.7182818284590452354, donc à 10-19 près. Pour n = 19, le facteur de e dans la valeur exacte est de l'ordre de 1,2.1018, d'où une erreur majorée par 0,13.

Le phénomène s'amplifie pour les les termes suivants.

Troisième méthode expérimentale

Calcul par récurrence des termes de la suite.

Une intégration par parties permet d'obtenir la relation de récurrence  pour tout entier naturel n.
A partir de u0= e-1, cette relation permet de vérifier les valeurs exactes des termes de la suite obtenues à l'aide du logiciel dans la seconde méthode.

La relation permet aussi de calculer des valeurs successives des termes à l'aide d'un algorithme. Voir comment faire ici.
On observe jusqu'à n = 18 des valeurs cohérentes avec celles obtenues avec les méthodes précédentes.
Ensuite, on observe des valeurs croissantes, de plus en plus grandes.

L'explication est un peu différente de celle qui vient d'être donnée pour la seconde méthode. En effet, les calculs dans la boucle sont exacts. La seule approximation est faite lors de l'initialisation, ligne 2. Comme cela vient d'être indiqué, la valeur de e qui intervient dans cette ligne est approchée  à 10-19 près. Ce phénomène illustre la sensibilité des processus itératifs aux conditions initiales.

Quatrième méthode expérimentale

Utiisation d'une calculatrice sans calcul formel.

Les calculatrices des élèves offrent une fonctionnalité pour le calcul d'intégrales. Ci-dessous, par exemple, le module MATH de la TI83.

Les calculatrices des élèves n'ont généralement pas de calcul formel. Le calcul d'intégral est donc fait de façon approchée, même si les élèves n'en ont souvent pas confiance.
Dans le cas par exemple de la TI83, les valeurs obtenues pour les termes de la suite décroissent de façon cohérente avec la conjecture de limite nulle.

Etude mathématique

Elle repose sur le théorème suivant : f et g étant deux fonctions définies intégrables sur un intervelle [a ;b]

Pour tout entier naturel n et tout x sur [0;1]  et donc . La suite est décroissante. Les valeurs obtenues par les deuxième et troisième méthodes expérimentales sont donc aberrantes après l'indice 19.

Sur [0;1]  est positive et est majorée par la fonction .

 et donc , ce qui permet de conclure à une limite nulle.

En définissant une suite wn par   et en comparant avec les valeurs obtenues par les deuxième et troisième méthodes expérimentales (calcul approché algorithme de récurrence)   on observe la majoration jusqu'à l'indice 19 ce qui confirme le diagnostic de valeurs aberrantes pour les indices suivants.


Date de création : 27/01/2018 - 08h55
Dernière modification : 27/01/2018 - 08h55
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