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En Terminale, méthodes d’étude de la convergence d’une suite. Mise en oeuvre en classe

Objectifs

L'activité vise à ce que les élèves de Terminale réflechissent à des méthodes expérimentales d'étude d'une suite et qu'ils s'approprient les outils adéquats: calculatrice, logiciel formel, graphisme. Ils doivent aussi apprendre à coordonner cette étude expérimentale avec des démarches de preuve. 

Organisation

La séance s'adresse à une classe de Terminale S de 32 élèves. Elle a lieu en salle ordinaire. Les élèves ont à leur disposition des ordinateurs portables avec Casyopée et leur calculatrice.

La séance se déroule en deux phases de travail de groupe respectivement de 45 et 30 min, suivies d'une synthèse collective en 10 min, selon le dispositif "collaboration en puzzle" (jigsaw) présenté ici.

Phase 1

Dans la première phase, les élèves sont répartis en huit groupes. Deux groupes font la tâche A ci-dessous. Deux groupes font la tâche B ci-dessous. Deux groupes font la tâche C ci-dessous. Deux groupes font la tâche D ci-dessous. Il s’agit, dans cette phase, d’introduire les élèves à plusieurs méthodes d’étude expérimentale pouvant conduire à des conjectures contradictoires, tout en posant la question d’une preuve mathématique.

Tâche A

Ce groupe est placé dans la situation courante avec une calculatrice "boîte noire" disposant d'une entrée "intégrale" (quatrième méthode expérimentale du document de référence.) . Dans la plupart des cas, la calculatrice utilise un algorithme de calcul approché et donne des valeurs postives décroissantes vers zéro. Comme ce travail ne devrait pas être très long, il est demandé aux élèves de travailler sur une preuve, sans plus d'indications.La preuve de la décroissance pourrait leur être accessible. En revanche, on ne s'attend pas à ce qu'ils produisent une preuve correcte de la convergence.

On s'intéresse à la suite définie par et pour par .

 1. Calculer .
2. A l'aide la calculatrice, conjecturer des propriétés de la suite
.

3. Prouver vos conjectures.

4. La suite est-elle convergente ?

 

Tâche B

Les élèves sont orientés vers une majoration par une suite d'intégrales   dont le calcul par primitive est possible.
Ils doivent dans les deux questions mettre en relation l'intégrale et l'aire sous la courbe et réaliser une observation graphique (Première
méthode expérimentale du document de référence.)

La preuve de convergente demandée dans la première question leur est accessible, à partir du calcul par primitive du terme général.

On s'attend à ce que dans la seconde question, ils aient une idée de de la majoration, mais sans doute pas le temps de rédiger une preuve.

1.      Pour tout entier , on pose et .
Voici les courbes représentatives de la fonction
définie sur IR par pour plusieurs valeurs de n.

 

a) A l'aide de ces graphiques, conjecturer la limite de la suite .

b) Prouver vos conjectures.

 

2. On s'intéresse à la suite définie par et pour par .

a) Calculer .

b) On a ajouté aux graphiques précédents les courbes représentatives des fonctions définies sur ℝ par .

3. La suite est-elle convergente ?

 

Tâche C

Les élèves sont orientés vers une relation de récurrence. La commande « Créer Suite » leur permet de convertir cette relation en un algorithme. Ils ont déjà réalisé ce type de conversion dans le module de programmation de leur calculatrice. L'environnement Casyopée est nouveau pour eux, mais offre plus de possibilités (voir ici). C'est la troisème méthode expérimentale du document de référence. On s'attend à ce que les élèves observent  des valeurs croissantes, de plus en plus grandes à partir de n=18, et conjecturent une suite divergente.

On s'intéresse à la suite définie par et pour par .

1. Calculer .
2. Pour
et x réel, on pose
Montrer que . En déduire que pour tout .

3. En déduire, en utilisant la commande « Créer Suite » du logiciel Casyopée, les premiers termes de la suite .
4. La suite
 semble-t-elle convergente ?

 

Tâche D

Comme dans la seconde méthode expérimentale du document de référence, les élèves ont recours au calcul formel pour calculer de façon exacte les premiers termes de la suite. Il leur est cependant demandé au préalable un calcul "à la main" des deux premiers termes, de façon à "réactiver" la technique d'utilisation d'une primitive. Ils doivent rechercher des valeurs approchées des valeurs exactes obtenues. Les valeurs demandées sont décroissantes. Les valeurs aberrantes sont en effet obtenues à partir de n=19.

On s'intéresse à la suite définie par et pour par .

1. Calculer .

2. Soit définie sur IR par .
Montrer que la fonction définie sur IR par
est une primitive de sur IR. En déduire .

3. Avec le logiciel Casyopée et ses outils de calcul formel, obtenir les valeurs exactes de ,,,.

4. La suite semble-t-elle convergente ?

Phase 2

Dans cette phase, les élèves confrontent les méthodes et les résultats. On s'attend tout d'abord à un débat entre les élèves ayant conjecturé une suite divergente (Tâches A et C) et ceux qui ont conjecturé une suite décroissante tendant vers 0 (Tâches B et D). Il est possible que les élèves poursuivent la Tâche D pour de plus grande valeurs de l'indice, et fassent ainsi les mêmes observations que dans la tâche C. Dans les deux cas, ils devront mettre en évidence que le logiciel utilise une approximation de e dans les calculs approchés, ce qui conduit à des valeurs aberrantes pour n>18. Parallélement, ils devront reprendre la tâche B vers une preuve.

On s'intéresse à la suite définie par et pour par .

On sait de plus que pour tout entier , .

La suite  est-elle convergente ? 

 

Justifier la réponse du groupe en exploitant les résultats que vous avez obtenus dans la première phase.

Synthèse

Elle vise d'abord à faire le bilan des méthodes possibles d'exploration des propriétés d'une suite et à établir la preuve demandée. Il s'agit aussi de mettre en évidence la possibilité d'aberrations dues aux approximations réalisées dans ces méthodes d'exploration.


Date de création : 21/03/2018 - 22h28
Dernière modification : 21/03/2018 - 22h28
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