Modélisation du pont du Golden Gate

1. Phase 1 : problématisation
2. Phase 2 : groupes experts
3. Phase 3 : groupes d'apprentissage
4. Entretiens d'évaluation

Cette mise en oeuvre a été observée dans une classe de Terminale de 35 élèves à la fin du mois de mars. Cette classe était familière avec l'organisation« Jigsaw Classroom » qui avait déjà été mise en œuvre pour un travail collaboratif sur un chapitre de cours. Les élèves étaient pour la plupart des élèves moyens. Les contenus en jeu en physique et en mathématiques avaient été enseignés aux élèves dans les cours précédents. Les phases ont été enregistrées et des entretiens ont été menées avec 3 élèves après la phase 3

a)

b)

Figure 1: réponses dans la première phase

Phase 1 : problématisation

Dans la première phase, la plupart des élèves ont esquissé un pont suspendu sans les suspentes (figure 1a). Ils ont généralement expliqué la non-horizontalité du câble principal par le poids du pont, mais ont adhéré à la fausse explication de la forme par la longueur des suspentes. Ils ont compris à partir de la vidéo que le poids du pont "plie" le câble, mais ils n'ont pas lié la forme du câble avec la répartition uniforme du poids, grâce aux suspentes. Certains élèves ont montré une meilleure compréhension, en écrivant que la forme est la conséquence des forces (ou des tensions) sur le câble (figure 1b). Dans le reste de la première phase, après avoir surmonté les difficultés instrumentales avec les montages, les élèves ont correctement enregistré les angles et l'intensité des forces. Ils ont reconnu la loi d'équilibre statique, mais ils n'ont généralement pas calculé les composantes. En particulier le fait que la composante horizontale est la même sur tous les trois dynamomètres dans l'appareil à deux poids n'a pas apparu. Dans la discussion en classe, avant de diviser la classe en groupes pour la phase 2, l'enseignant a insisté sur la décomposition d'un vecteur en composantes et sur les variations des composantes de la tension dans le câble en jeu dans les phases suivantes. Il a également répété que le but est d'étudier mathématiquement la forme du câble.

Phase 2 : groupes experts

Une série de quatre groupes ont été observés faisant chaque tâche en phase 2. Les élèves observant la tâche A (statique) ont assez bien réussi , alors que des difficultés ont été observées pour les élèves effectuant d'autres tâches. Les élèves de la tâche B (géométrie) ont commencé par esquisser un pont avec beaucoup de suspentes, ce qui ne leur a pas permis pas de considérer des segments modélisant le cable principal. Ils ont été invités par l'observateur à limiter à 4 suspentes. Il leur a fallu du temps pour trouver les coordonnées du point d'ancrage et ils ont eu des difficultés à utiliser la formule donnée pour la pente des segments et la distance entre les suspentes afin de calculer les coordonnées du point suivant. En fait, ce calcul implique plusieurs paramètres liés aux données du pont, situation courante en sciences physiques mais non en mathématiques. Les élèves de la tâche C (algorithmique) ont été très lent à entrer l'algorithme dans Casyopée. L'affichage de la courbe sur l'écran a été erronné à cause de petites erreurs dans l'algorithme. Ils n'ont pu corriger que lorsque l'observateur les a aidés à analyser l'algorithme. Ils ont identifié le paramètre n comme étant lié au nombre de suspentes et ont proposé la valeur 83 (le nombre de suspentess dans le Golden Gate Bridge). Ils ont estimé que cette valeur est «proche de l'infini» et c'est pourquoi la courbe n'est pas apparu comme une ligne brisée, contrairement à ce qui a été observé pour de petites valeurs de n. Lorsque l'observateur a expliqué que H est une tension, ils ont pris conscience de ce que l'augmentation de la valeur de ce paramètre "redresse" le câble, et ont trouvé une valeur appropriée. Les élèves de la tâche D (fonctions mathématiques) ont trouvé une formule pour la tension verticale, mais ont eu de la difficulté à interpréter le fait que la tension est dans la direction de la tangente à la courbe.

Phase 3 : groupes d'apprentissage

Un groupe a été observé en phase 3 réunissant des élèves observés en phase 2. Dans ce groupe, chaque élève a expliqué sa tâche et son travail dans la phase précédente. L'enregistrement vidéo montre que les autres élèves ont écouté attentivement et demandé des explications supplémentaires. Le paramètre H a été identifié par les élèves comme jouant un rôle dans chaque tâche; par exemple quand un élève qui avait fait la tâche C ne s'est plus souvenu de l'effet de l'augmentation de H, confondant avec la «hauteur du câble», l'élève qui avait fait la tâche A l'a corrigé, en disant que c'est une tension et que l'augmenter devait "redresser" le câble plutôt que de le "relâcher" . Le même élève a aidé à surmonter la difficulté rencontrée par l'élève qui avait fait la tâche D pour trouver la direction de la tangente à la courbe et ensuite la dérivée de la fonction, en disant «il suffit d'intégrer le quotient de V et H». En allant plus loin dans la tâche D, les élèves ont été troublés par le paramètre H dans le dénominateur, certains proposant une Ln (H) dans la primitive. Ils on pu réaliser la tâche D en utilisant Casyopée. En revanche, la tâche non terminée B et le lien avec l'algorithme dans la tâche C n'ont pas été abordés.

Entretiens d'évaluation

Trois élèves ont été interviewés après la phase 3, afin de mieux évaluer les liens entre les modélisations dans les trois domaines opérés au cours du travail de groupe. Ils ont souligné que la situation était plus complexe que d'habitude ( «nous avons dû relier beaucoup de choses différentes») et qu'ils n'étaient pas «habitués à mélanger la physique et les mathématiques». En commentant la première phase, ils ont montré comment leur compréhension de la structure d'un pont a progressé : ils ont mentionné le rôle des suspentes et ont fait le lien entre un pont suspendu et un pont en arc relativement à la façon dont le pont est soutenu. Ils ont également fait le lien entre le montage avec deux poids dans la première phase, et un pont suspendu "avec deux suspentes". Ils ont encore eu des difficultés à considérer les pentes des segments dans la tâche B pour trouver les coordonnées des points de suspension. Cependant, ils ont correctement interprété l'algorithme de la tâche C et ont été capables de relier l'évolution de H et de x et y respectivement dans les tâches A et B. Ils n'ont pas montré clairement que la fonction de la tâche D était la limite de la fonction définie par un algorithme dans la tâche C. À partir de la visualisation graphique, ils ont pensé que c'était plus ou moins la même fonction pour de grandes valeurs de n. La visualisation est alors la façon dont les élèves relient l'algorithme et la fonction mathématique. L'observateur a demandé d'expliquer pourquoi le gradient en un point de la courbe est le quotient de V et H. La réponse attendue était que la tension a la direction de la tangente, mais les élèves ont simplement écrit sans plus d'explication. Il semble que la première égalité soit commune dans le cours de physique et que la seconda dérive de la définition des composantes dans la tâche A. Ainsi, les élèves ont établi un lien entre l'étude statique et la fonction mathématique sans considérer explicitament un passage à la limite d'un modèle discret à un modèle continu.
 

Figure 2: Les liens entre domaines faits par les élèves dans la situation du pont suspendu