Casyopée est le nom d’un logiciel mais aussi celui d’un groupe de recherche composé d’un universitaire et de professeurs de lycée. La recherche a porté sur l’enseignement des fonctions de la troisième à la terminale. Les expérimentations menées par le groupe ont accompagné une réflexion didactique sur l’enseignement des fonctions avec utilisation d’un outil TICE.

Période 1. Calcul formel (2002 - 2008) – fenêtre algèbre

Le groupe IREM (1998 – 2000) « Intégration d'un logiciel de calcul formel dans l'enseignement des mathématiques » a travaillé sur l'intégration d'un logiciel de calcul formel (Derive) au lycée et a publié la brochure IREM de Rennes « Un logiciel de calcul formel en seconde ».
Le travail du groupe s'est orienté autour de deux problématiques:

- Comment utiliser un logiciel de calcul formel pour enseigner les mathématiques, quelles sont les notions dont l'apprentissage en sera facilité ?

- Comment l'intégrer dans l'activité des élèves, comment faire un outil familier qu'ils sauront utiliser ?

À  cela il faut aussi ajouter un travail de recherche effectué par le groupe sur l’utilisation du calcul formel de la TI92  pour aider les élèves à la construction de preuves en analyse.

Constats

- Les élèves sont obligés de se familiariser  à des lignes de commande de Derive qu'ils doivent apprendre à utiliser.

- Le professeur dirige trop souvent les activités et laisse peu d'initiative aux élèves.

Suite à ces constats Jean Baptiste Lagrange, Bernard Le Feuvre et Xavier Meyrier décident la création d’un logiciel du nom de Casyopée où les outils de calcul formel ne nécessitent pas de lignes commandes et qui doit se rapprocher des gestes habituels en papier/crayon des élèves. Jean Baptiste Lagrange en est le concepteur et le développeur en collaboration avec des enseignants qui connaissent les exigences institutionnelles du « terrain ».

Le projet Casyopée est soutenu par l'INRP et l'IREM de Rennes ainsi que le laboratoire LDAR.

Casyopée dans une première version ne comporte qu'une seule fenêtre dite d'algèbre où apparaissent les outils de calcul formel sans ligne de commande : par exemple, pour obtenir la fonction dérivée d’une fonction, l'élève entre la fonction et dans le menu « Calculer » choisit la commande « dérivé », la fonction dérivée s'affiche dans la fenêtre. Dans cette même fenêtre il est possible de demander la représentation graphique de fonctions, de résoudre des équations...

Nous sommes conscients qu'un logiciel de calcul formel est une boîte noire et les affichages obtenus ne sont pas forcément ceux attendus. Cela implique un travail sur les formules et leurs écritures équivalentes.

Faire faire du calcul formel pour du calcul formel ne présente que peu d'intérêt didactique. Le groupe s'attache à ce que les activités donnent du sens au travail mathématique ; les outils de calcul formel doivent permettre aux élèves de pouvoir continuer leurs démarches et ne pas être bloqués par des difficultés calculatoires, le logiciel effectuant à leur place des calculs jugés complexes. Le groupe développe aussi un module « Justifications » intégré au logiciel. Ce module est conçu comme une aide à la démonstration et les boîtes de dialogue peuvent aider les élèves à construire une suite de justifications avec les propriétés ou théorèmes disponibles dans le logiciel.

Le logiciel permet aussi d’utiliser des paramètres et de les piloter, ouvrant de nouveaux champs d'investigation. Les élèves apprennent à différencier variable et paramètre.

Le groupe Casyopée fait partie durant les années (2006-2008) du projet européen ReMath (IST4-26751). Il répond à un cahier des charges ; les expérimentations concernent l'étude de fonctions mais aussi l'utilisation d'un autre logiciel développé en Grèce (Cruislet).

Constats

- Les expérimentations portent sur des études de fonctions, résolutions algébriques d’équations et l'absence d'un volet de géométrie dynamique est un frein à la modélisation.

- Les collègues qui veulent utiliser le logiciel sont freinés par son instabilité (bugs récurrents) et ne voient pas l'intérêt d'utiliser les possibilités du calcul formel pour des élèves qui ne maîtrisent déjà pas les calculs algébriques de base. De plus il est difficile de présenter aux collègues un logiciel en phase de construction qui évolue suite à des expérimentations et analyses de ces dernières.

- Les travaux de recherche du groupe sont présentés régulièrement dans des colloques et sont accueillis avec intérêt.

Période 2 . Fenêtre de géométrie dynamique (2008 – 2016)

Développer une fenêtre de géométrie dynamique permet d'élargir le champ des situations. Le groupe s'appuie, pour l'ergonomie de cette fenêtre, sur des logiciels existants mais cherche à lier travail  géométrique et travail algébrique.

Lors d'étude d'une situation liée à un problème géométrique les élèves doivent d'abord réaliser la figure. Cette étape nous paraît fondamentale pour différencier un point libre ou indépendant (sur un segment, une droite, un cercle...) d'un point dépendant, cette différenciation étant nécessaire pour la compréhension de la notion de dépendance fonctionnelle et de covariation. Nous avons conçu cette fenêtre de géométrie dynamique avec une sous fenêtre où l'élève peut définir des grandeurs et faire afficher leurs valeurs. Il peut alors conjecturer.

Une commande va permettre à l'élève de construire une fonction modélisant la situation. Pour cela il doit faire un choix pour définir la grandeur représentant la variable indépendante et la grandeur (variable dépendante) liée à la précédente. Le logiciel peut, si la correspondance entre les deux grandeurs est univoque, donner, suite au choix de l'élève, l'expression algébrique de la fonction et la faire apparaître dans la fenêtre algèbre pour y être étudiée.

La particularité du logiciel est de lier les deux fenêtres : si on déplace le point libre, qui a permis à déterminer la variable indépendante dans la fenêtre de géométrie dynamique alors un point se déplace sur la représentation graphique de la fonction modélisant la situation et  réciproquement.

La création de la fenêtre de géométrie dynamique a permis au groupe d'élargir le champ de problèmes et de situations. Des expérimentations associant étude physique d’une situation réelle et étude mathématique ont été réalisées.

Constats

- De nombreuses expérimentations sont réalisées avec comptes rendus de celles-ci et consignées dans la brochure IREM :

Les fonctions : comprendre la notion et résoudre des problèmes de la 3^ème à  la Terminale. L'apport d'un logiciel dédié

- Lors de présentation de nos travaux aux journées mathématiques de l'ifé, il nous a été souvent reproché la difficulté à gérer l'existence de deux fenêtres et le passage de l'une à l'autre. Notre réponse est de rappeler que l'utilisation de n'importe quel logiciel nécessite une période d'apprentissage et que l'étude des gestes effectués par les élèves nous permet de modifier son ergonomie et de le rendre plus familier.

- Laisser du temps aux élèves pour réaliser la figure nous est apparu comme une étape fondamentale avec pour conséquence que l'activité ne pouvait pas être contenue dans un temps « court » ce qui pouvait freiner l'utilisation du logiciel obliger le professeur à intervenir.

- Laisser les élèves choisir les variables indépendantes et dépendantes et demander au logiciel de vérifier si la correspondance définit une fonction sont des gestes peu habituels chez les élèves. Nous nous sommes demandés comment développer les capacités d'investigation chez les élèves et nous avons remis en cause notre mode de fonctionnement lors des expérimentations jugées trop directives dans le temps que nous nous étions imposé.

- Les fonctions étudiées le sont à partir de leurs formules, nous voulions élargir la famille des fonctions.

Période 3. Fonction définie par algorithme - jigsaw teaching (2016- 2 018)

Une nouvelle commande dans le menu fonction est créée. Elle permet la création d'une fonction définie par un algorithme dont la représentation graphique est une fonction affine par morceaux. Il ne s'agit pas de créer un logiciel dédié à l'algorithmique mais de montrer qu'il est possible de définir une fonction sans connaître explicitement son expression algébrique comme Euler l'a envisagé en son temps. Là aussi nous nous sommes attachés à ce que les commandes soient les plus explicites  possibles afin que les élèves puissent réinvestir leurs connaissances en algorithmique.

L'organisation des expérimentations a été repensée. Un travail en puzzle (jigsaw teaching) permet à tous les élèves de s'impliquer dans un travail de recherche et de mise en commun.